Gravitative Zeitdilatation

So, weiter gehts mit den Neutrinos :-)
Im Erdgravitationsfeld kann folgende Gleichung verwendet werden:
T=T₀(1+gh/c²)
Dabei ist T₀ die Zeit, die bei h=0 und g die Erdbeschleunigung. Der Höhenunterschied zwischen Gran Sasso und CERN ist maximal 1000 m. Daraus folgt ein Laufzeitunterschied zwischen beiden Uhren aufgrund von unterschiedlich viel Masse "unter ihnen" von ca.
ΔT=gh/c²=T₀*1*10⁴/(9*10¹⁶)  < T₀*10⁻¹².
Offensichtlich ist dieser Effekt viel viel zu klein um die 60 ns Zeitunterschied bei einer Gesamtflugzeit von T₀=2 ms zu erklären.

Betrachten wir noch zwei klassische Effekte:
Zentrifugalkraft:
F_Z=m ω² r
Wobei ω die Rotationsgeschwindigkeit der Erde und r der senkrechte Abstand von der Rotationsachse. Da Gran Sasso näher am Äquator liegt als CERN ist dort auch der senkrechte Abstand zur Erdachse größer und damit die Zentrifugalkraft auf die Neutrinos. Da es hier um das Abschätzen von Effekten geht, nehmen wir die maximale Zentrifugalkraft an und lassen sie die ganzen 2 ms auf die Neutrinos wirken. Die maximale Beschleunigung ist in Gran Sasso aufgrund von Zentrifugalkräften
a(max)=ω² r(max) = ω² R cos(θ_{Gran Sasso})=7 * 10⁻³ m/s²
Nun lassen wir diese Beschleunigung a 2 ms auf die Neutrinos wirken. Dies führt zu einer Geschwindigkeitserhöhung von v=a*t=7 * 10⁻³ m/s² * 2 ms=14* 10⁻6 m/s.
Was in einer Distanz von 28* 10⁻⁹ m resultiert. Nicht berücksichtigen der Zentrifugalkraft würde also in der Größenordnung von nm liegen und kann auf keinen Fall 18 m erklären.

Corioliskraft
Die Corioliskraft hängt von der Geschwindigkeit der Teilchen ab und von der Äquatornähe (der obige Winkel theta ist nun durch 90°- phi gegeben).  Hier sind die Formeln für die Corioliskraft für östlich fliegende Teilchen (zeigt in N-S-Richtung) und für nördlich fliegende Teilchen (also "minus südlich fliegend") und wirkt in W-O-Richtung.
 


Genauso wie oben wirken die größten Corioliskräfte in Gran Sasso. Die Neutrinos haben Geschwindigkeiten in der Größenordnung von c. Die jeweiligen Komponenten in W-O-RIchtung bzw. N-S-Richtung sind natürlich kleiner. Aber wir wollen sehr konservativ rechnen und nehmen dafür bei beiden Komponenten c.
Dies führt zu folgenden Coriolisbeschleunigungen:
a = 2*c*ω*cos(θ) = 9100 m/s²
Wie oben rechnen wir diese Beschleunigung auf eine Strecke um:
L=9100 m/s² * 2 ms * 2 ms =0,04 m
Die Corioliskraft würde also sqrt(0,04²m²+0,04²m²) = 0,06 m von 18 m erklären.

Also: Keine klassischen Effekte aufgrund dessen, dass das Experiment nicht in einem IS stattfindet, können die 18 m bzw. 60 ns die die Neutrinos "abgekürzt" haben bzw. "zu schnell" waren, erklären.
Weder gravitative noch speziell relativistische Zeitdilatation liegen in der Größenordnung dass sie auch nur ansatzweise einen Einfluss haben können.
Im ersten Artikel zu den Neutrinos hatte ich auch schon die Raumverzerrung (Stichwort Gravitationslinseneffekt) berechnet und gezeigt, dass dieser Effekt zuerst eine Streckenverlängerung verursacht und auch nicht in der gesuchten Größenordnung liegt.

Der letzte noch zu untersuchende Effekt, der noch in zahlreichen Blogs "diskutiert" wurde, ist der Lense-Thirring-Effekt (Gravitomagnetischer Effekt, der z.B. dafür verantwortlich ist, dass die Bahnebene des Mondes aufgrund der Eigenrotation der Erde sich verschiebt).
Ich denke, dass dieser Effekt einen noch geringeren Einfluss hat als die bislang diskutierten.
Aufgrund der fortgeschrittenen Stunde werde ich diesen Effekt morgen unter die Lupe nehmen.
Tschö :-)

Noch ein paar Rechnung bzgl. des Neutrino-Experiments

1. Der Sagnac-Effekt:
Dieser klassische Effekt kann zur Bestimmung der Selbstrotation genutzt werden. Betrachtet man die Erde aus dem Weltall, so haben Punkte auf dem Äquator eine höhere Tangentialgeschwindigkeit bzgl. der Rotationsachse der Erde (mit ω=2*pi/(23h56min) ), als Punkte in Polnähe.
Der Weg der Neutrinos geht vom CERN (46°14′ N, 6° 2′ O) nach Gran Sasso (42° 28′ N, 13° 33′ O). Die Strecke hat also eine Komponente die tangential zur Rotationsachse ist.
Würde man nun Interferrometrie betreiben und den einen Arm senkrecht zur Rotationsachse und den anderen parallel zur Rotationsachse und beide Strahlen interferieren lassen, so würde man ein Interferenzbild erhalten, aus dem man die Rotationsgeschwindigkeit der Erde errechnen kann. Denn das Licht des ersten Arm muss eine weitere Strecke laufen, falls die Erde rotiert, als wenn sie nicht rotieren würde.
Ok, wahrscheinlich habe ich den Effekt komplizierter erklärt, als er ist. Es geht darum, dass sich aus Sicht eines äußeren Inertialsystems (Weltall) Gran Sasso schneller in diesem Raum bewegt, als CERN.
Schaut man sich dieses Bild vereinfacht auf einer rotierenden Scheibe an, so wäre der Effekt maximal, wenn CERN und Gran Sasso auf dem gleichen Radius liegen würden (also auf einer Strecke vom Mittelpunkt ausgesehen) und CERN etwas näher am Mittelpunkt als Gran Sasso.
Für den Geschwindigkeitsunterschied aufgrund dieses geometrischen Effekts sind nur die Nord-Koordinaten ausschlaggebend.
Man kann leicht eine Formel für den tangentialen Geschwindigkeitsunterschied herleiten:
Δv=ωR(cos(θ_CERN)-cos(θ_GranSasso))
Dabei ist R der Erdradius von ca. 6370 km und die Winkel ergeben sich aus der richtigen Umrechnung aus den obigen geographischen Koordinaten.
Die Neutrinos fliegen ca. 2 ms durch die Erdkruste, das Δv gibt den Geschwindigkeitsunterschied für den Sagnac-Effekt der beiden Punkte der Flugstrecke an.
Daraus folgt eine Ungenauigkeit in der Flugstrecke der Neutrinos von
ΔL=Δv*2ms=0,042 m=4,2 cm.
Zusätzlich würde das zu einer Streckenverlängerung und nicht zu einer Verkürzung führen, da die Erde sich so dreht, dass Gran Sasso vor den Neutrinos "wegläuft".

2. Zeitdilatation (SRT)
Wie beschrieben, aus einem Inertialsystem betrachtet, bewegt sich Gran Sasso schneller, als CERN. Dies führt dazu, dass ein Vergleich der Uhren des CERN und Gran Sassos jeweils eine Zeitverzögerung aufzeigen würden.
Dieser Effekt ist von der Relativgeschwindigkeit abhängig und würde "doppelt" eingehen, wenn beiden Experimentatoren der maximale Fehler unterlaufen würde.
Die Relativgeschwindigkeit v ergibt sich aus der obigen Rechnung: 4,2 cm / 2 ms = 21 m/s.
Zeitdilatation: T_0=T'*sqrt(1-v^2/c^2).
Daraus ergibt sich ein maximaler Fehler von (mit T'= 2 ms)  ΔT=2*(T_0-T')<10^(-11) ms=10^(-5) ns.
Dieser Effekt ist also auch zu vernachlässigen.
Nachher werde ich die Zahlen nochmal überprüfen (sieht mir etwas zu klein aus) und noch was zur Zeitdilatation aufgrund der Gravitation sagen.

Tschö!