Hyperloop Hamburg nach Berlin

"Hyperloop all cutaway" by Camilo Sanchez - Own work. Licensed under CC BY-SA 4.0 via Commons - https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Hyperloop_all_cutaway.png#/media/File:Hyperloop_all_cutaway.png

In letzter Zeit wurde viel über den Hyperloop von San Francisco nach Los Angeles berichtet. Hierbei handelt es sich um ein zukünftiges (leicht utopisch erscheinendes) öffentliches Verkehrsmittel. Elon Musk bezeichnet den Hyperloop als 5. Verkehrsmodus (folgend auf Schiff, Eisenbahn, Auto und Flugzeug). Es handelt sich hierbei um eine teilevakuierte Stahlröhre welche so gerade wie möglich auf Pylonen zwischen zwei Städten gebaut werden soll. In der Stahlröhre "hovern" Kapseln welche Personen oder Fracht transportieren. Die Kapseln stauen während ihrer sehr schnellen Reise durch die Röhre (über 1000 km/h) die Restluft vor sich auf, diese wird durch einen Hochleistungsventilator in der Front der Kapsel eingesogen, komprimiert und hinten an der Kapsel aus einer Druckluftdüse rausgeschossen. Zudem wird ein Teil der Luft genutzt um Luftkissen zwischen Kapsel und Rohrwand zu bilden.
Dieses System hat energetisch gegenüber dem normalen Rad-Schiene-System folgende Vorteile:
1. Die Rollreibung wird sehr stark reduziert. Es gibt keine Räder mehr, sondern nur Luftkissen zwischen Schiene (=Stahlrohr) und Rad (=Ski der Kapsel)
2. Der Luftwiderstand wird sehr stark reduziert. Aufgrund des geringen Luftdrucks in der Röhre und des wegaugens der Stauluft wird der Luftwiderstand fast auf Null gesenkt.
Hauptsächlich werden die Kapseln durch Linearmotoren beschleunigt (ähnlich wie beim Transrapid) welche aber nur an sehr kurzen Streckenabschnitten am Anfang und Ende (zum Bremsen) gebaut werden. Dank der fast nicht vorhandenen Reibungsverluste braucht es keinen dauerhaften Antrieb. (Wobei ein kleiner Antrieb durch den Ausstoß der Stauluft am hinteren Ende der Kapsel ja zur Verfügung steht).
Der Vorteil dieses Systems ist sein sehr geringer Energieverbrauch und auch Flächenverbrauch. Somit ist es ein sehr ökologisches Transportmittel. Zudem können vergleichbare und höhere Reisegeschwindigkeiten erreicht werden, als beim Flugzeug.
Weitere Details können dem White paper von Elon Musk (SpaceX) entnommen werden.

Der Hyperloop hört sich zwar utopisch und fantastisch an, aber ich denke tatsächlich, dass dies ein machbares und sehr sinnvolles Konzept ist.
Wenn man aufeinmal in 30 min von San Francisco nach LA reisen kann, dann braucht man z.B. für seinen Arbeitsplatz nicht in die andere Stadt ziehen. Der Hyperloop ist sozusagen das Metro-System zwischen den Metropolen. Verschiedene Städte lassen sich genauso schnell erreichen wie einzelne Stadtteile in einer Stadt.
Nun, wie würde der Hyperloop in Deutschland aussehen? Hier würde sich die Verbindung Hamburg-Berlin als erstes anbieten. Einerseits weil viele Menschen zwischen den beiden Städten pendeln (größte und zweitgrößte Stadt Deutschlands), andererseits weil zwischen den Städten vergleichsweise flaches und unbesiedeltes Land liegt. Es ist einfacher als zwischen anderen Städten Platz für eine kurvenarme Hyperloopstrecke zu finden.

Route bei google-maps

Mit dem Hyperloop ließen sich diese knapp 300 km (Strecke per Auto) in unter 30 min bewältigen. Zur Zeit braucht der ICE etwa 1:50h.  Nebenstehendes Bild zeigt eine mögliche Hyperloop-Route zwischen Hamburg und Berlin in Rot.  Schwarz ist die direkte Luftlinie.
Die Routenplanung muss sehr sorgfältig durchgeführt werden, da die Strecke möglichst wenige Kurven aufweisen darf. Kurven erzeugen bei schnellen Geschwindigkeiten Zentrifugalkräfte. Der Mensch hält zwar Beschleunigungen kurzzeitig bis mehrere g aus, aber der Hyperloop soll keine Achterbahn sein, sondern eine angenehme Reise bieten.
Genauso wie im orginal white paper habe ich angenommen, dass laterale Zentrifugalbeschleunigungen nicht größer als a = 0,5g betragen dürfen. Aus dieser Vorderung lässt sich für eine Geschwindigkeit der minimale Kurvenradius bestimmen: Es gilt a = v²/R. Die Nächste Abbildung zeigt die Krümmungsradien über die gesamte Strecke und die aus der begrenzten Zentrifugalkraft resultierende maximal erträgliche Geschwindigkeit.

Krümmung der optimierten Route zwischen HH und Berlin. In blau die daraus resultierende maximale Geschwindikeit.

Diese Grafik habe ich wie folgt erzeugt:
Zunächst habe ich eine Route aus google-maps exportiert. Die Route besteht aus Punkten die in Längen- und Breitengraden angegeben sind. Immer 3 aufeinanderfolgende Punkte der Route können zu einem Dreieck verbunden werden (Der Erdradius steht senkrecht auf der Ebene des so gebildeten Dreiecks). Aus der Geometrie ist bekannt, dass es genau einen Kreis mit Radius R gibt (Umkreis) auf dem diese 3 Punkte liegen. Dieser Kreis beschreibt die lokale Krümmung der Route.
Der Umkreisradius lässt sich über eine einfache Gleichung aus den Seitenlängen des Dreiecks berechnen (siehe z.B. hier). Nachfolgende Abbildung zeigt die Krümmungskreise entlang der Route. Wobei ich hier die gekrümmte, dreidimensionale Erdoberfläche in zwei Dimensionen und in Kugelkoordinaten gezeichnet habe. Dies und das Verhältnis der x/y-Skalierung erklärt die leicht verzerrte Form der Kreise.

Krümmungskreise an der Hyperloop-Strecke

 Um die Krümmungskreise zu zeichnen muss man neben dem Radius auch den Kreismittelpunkte bestimmen. Dieser lässt sich durch ein bisschen lineare Algebra berechnen:
Zunächst berechnet man die Richtungsvektoren der Ebene die durch das Dreieck aufgespannt werden.
Die Längen und Breitenkoordinaten der einzelnen Punkte werden zuerst in kartesischen Koordinaten dargestellt mit dem Erdmittelpunkt im Ursprung (0,0,0).
Der erste Richtungsvektor u ergibt sich einfach aus der Differenz von Punkt 1 und 2 (p12) des Dreiecks und anschließender Normierung seiner Länge auf 1 (u=p12/|p12|).
Bildet man die Differenz h aus Punkt 2 und 3 (oder 3 und 1) und bildet das Kreuzprodukt aus u und h: n=u x h, so ist n ein Vektor der senkrecht zu u und senkrecht zu h steht. Dies kann nur ein Vektor sein der Senkrecht auf der gesuchten Ebene steht. Nun berechnet man einfach v = u x n und normiert v auf Länge 1. u und v bilden die Richtungsvektoren der vom Dreieck aufgespannten Ebene.
Der Kreismittelpunkt lässt sich über Vektoraddition ausrechnen.
P1, P2 und P3 haben jeweils R Abstand zum Mittelpunkt M. Somit bildet P1 M P2 ein gleichschenkliges Dreieck. Daraus folgt, dass die Winkelhalbierende von M auf die Seite P1P2 gleich die Seitenhalbierende von P1P2 ist. Man kann also einfach ein rechtwinkliges Dreieck konstruieren und alle drei Seitenlängen über den Satz von Pythagoras berechnen. Nun ergibt sich der Mittelpunkt M aus:
M = P1 + u*|p12|/2 +v*Wurzel(R² + (|p12|/2)²)

Die Kreisgleichung mit t von 0 bis 2pi in drei Dimensionen lautet
X=u*R*sin(t)+(u x v)*R*cos(t)+M
Gemäß dieser Gleichung wurden die Krümmungskreise dann in der obigen Grafik gezeichnet. Kleine Kreise (große Krümmung) wurden rot und große Kreise (geringe Krümmung) wurden grün gezeichnet.
Aufgrund der starken Bebauung in den Städten Hamburg oder Berlin und im Umland wird es in der Nähe der Städte immer schwieriger eine gerade Strecke zu konstruieren. Die Dichte der "roten" Kreise erhöht sich. Die maximal mögliche Reisegeschwindigkeit verringert sich.

Die nebenstehende Abbildung zeigt die Betriebsgeschwindigkeit der Hyperloop-Kapseln auf der Strecke HH-Berlin. Die Strecke wurde in google-maps iterativ immer wieder optimiert (Kurven längergezogen, Punkte versetzt) um möglichst hohe Geschwindigkeiten zuzulassen. Es wurde versucht möglichst wenige Grundstücke oder gar Häuser zu queren. Auch wurde versucht die Strecke möglichst entlang von schon bestehenden Gleisen oder Autobahnen zu führen. Dies senkt den Preis des Baus der Strecke, da weniger Grundstücke von Privat gekauft werden müssen. Der größte Teil der vollen Distanz von etwa 258 km wird mit 1100 km/h zurückgelegt. Diese Geschwindigkeit wird über 4 sehr kurze Beschleunigungsstrecken erreicht und innerhalb von 4 sehr kurzen Bremsstrecken abgebaut.
Die Hyperloopstrecke besteht also zu 99% aus "inaktiver" Stahlröhre. Nur an den Beschleunigungsstellen müssen teure Magnete zur Beschleunigung installiert werden.
Die nächste Abbildung zeigt die Zentrifugalbeschleunigung über die Distanz Hamburg nach Berlin.

Seitliche Beschleunigung (gestrichelt) und Beschleunigung in Fahrtrichtung

  Die Vorletzte und Letzte Grafik zeigt die Strecke in Reisezeit. Die gesamte Reisezeit beträgt weniger als 28 min. Dabei ist die Kapsel nur 7 min mit der Höchstgeschwindigkeit unterwegs. Die meiste Zeit (aber kürzeste Strecke) ist sie mit unter 200 km/h unterwegs.

Gravitative Zeitdilatation

So, weiter gehts mit den Neutrinos :-)
Im Erdgravitationsfeld kann folgende Gleichung verwendet werden:
T=T₀(1+gh/c²)
Dabei ist T₀ die Zeit, die bei h=0 und g die Erdbeschleunigung. Der Höhenunterschied zwischen Gran Sasso und CERN ist maximal 1000 m. Daraus folgt ein Laufzeitunterschied zwischen beiden Uhren aufgrund von unterschiedlich viel Masse "unter ihnen" von ca.
ΔT=gh/c²=T₀*1*10⁴/(9*10¹⁶)  < T₀*10⁻¹².
Offensichtlich ist dieser Effekt viel viel zu klein um die 60 ns Zeitunterschied bei einer Gesamtflugzeit von T₀=2 ms zu erklären.

Betrachten wir noch zwei klassische Effekte:
Zentrifugalkraft:
F_Z=m ω² r
Wobei ω die Rotationsgeschwindigkeit der Erde und r der senkrechte Abstand von der Rotationsachse. Da Gran Sasso näher am Äquator liegt als CERN ist dort auch der senkrechte Abstand zur Erdachse größer und damit die Zentrifugalkraft auf die Neutrinos. Da es hier um das Abschätzen von Effekten geht, nehmen wir die maximale Zentrifugalkraft an und lassen sie die ganzen 2 ms auf die Neutrinos wirken. Die maximale Beschleunigung ist in Gran Sasso aufgrund von Zentrifugalkräften
a(max)=ω² r(max) = ω² R cos(θ_{Gran Sasso})=7 * 10⁻³ m/s²
Nun lassen wir diese Beschleunigung a 2 ms auf die Neutrinos wirken. Dies führt zu einer Geschwindigkeitserhöhung von v=a*t=7 * 10⁻³ m/s² * 2 ms=14* 10⁻6 m/s.
Was in einer Distanz von 28* 10⁻⁹ m resultiert. Nicht berücksichtigen der Zentrifugalkraft würde also in der Größenordnung von nm liegen und kann auf keinen Fall 18 m erklären.

Corioliskraft
Die Corioliskraft hängt von der Geschwindigkeit der Teilchen ab und von der Äquatornähe (der obige Winkel theta ist nun durch 90°- phi gegeben).  Hier sind die Formeln für die Corioliskraft für östlich fliegende Teilchen (zeigt in N-S-Richtung) und für nördlich fliegende Teilchen (also "minus südlich fliegend") und wirkt in W-O-Richtung.
 


Genauso wie oben wirken die größten Corioliskräfte in Gran Sasso. Die Neutrinos haben Geschwindigkeiten in der Größenordnung von c. Die jeweiligen Komponenten in W-O-RIchtung bzw. N-S-Richtung sind natürlich kleiner. Aber wir wollen sehr konservativ rechnen und nehmen dafür bei beiden Komponenten c.
Dies führt zu folgenden Coriolisbeschleunigungen:
a = 2*c*ω*cos(θ) = 9100 m/s²
Wie oben rechnen wir diese Beschleunigung auf eine Strecke um:
L=9100 m/s² * 2 ms * 2 ms =0,04 m
Die Corioliskraft würde also sqrt(0,04²m²+0,04²m²) = 0,06 m von 18 m erklären.

Also: Keine klassischen Effekte aufgrund dessen, dass das Experiment nicht in einem IS stattfindet, können die 18 m bzw. 60 ns die die Neutrinos "abgekürzt" haben bzw. "zu schnell" waren, erklären.
Weder gravitative noch speziell relativistische Zeitdilatation liegen in der Größenordnung dass sie auch nur ansatzweise einen Einfluss haben können.
Im ersten Artikel zu den Neutrinos hatte ich auch schon die Raumverzerrung (Stichwort Gravitationslinseneffekt) berechnet und gezeigt, dass dieser Effekt zuerst eine Streckenverlängerung verursacht und auch nicht in der gesuchten Größenordnung liegt.

Der letzte noch zu untersuchende Effekt, der noch in zahlreichen Blogs "diskutiert" wurde, ist der Lense-Thirring-Effekt (Gravitomagnetischer Effekt, der z.B. dafür verantwortlich ist, dass die Bahnebene des Mondes aufgrund der Eigenrotation der Erde sich verschiebt).
Ich denke, dass dieser Effekt einen noch geringeren Einfluss hat als die bislang diskutierten.
Aufgrund der fortgeschrittenen Stunde werde ich diesen Effekt morgen unter die Lupe nehmen.
Tschö :-)